Cédric VILLANI - Introduction à la théorie de la mesure (intégration de Lebesgue) - Extraits

L'objet de cette étude porte sur la théorie de la mesure, qui, dans sa pratique, équivaut à la théorie de l'intégration. Il s'agit de mesurer une quantité, qu'il s'agisse de calculer des longueurs, des surfaces ou des volumes, en quantifiant tous les composants de l'objet étudié. L'intégration qui s'est imposée est celle de Lebesgue. Cette année est particulière, marquant les 150 ans de Lebesgue, avec des célébrations organisées notamment par l'Académie des Sciences, soulignant l'importance de ses contributions fondamentales au domaine.

La première séance se concentre sur le contexte historique et la motivation : pourquoi une théorie de l'intégration est-elle nécessaire, pourquoi a-t-elle nécessité plusieurs révisions, et pourquoi celle de Lebesgue a-t-elle finalement prévalu ? Même pour les spécialistes qui utilisent cet outil des centaines de milliers de fois, certains aspects demeurent complexes.

Pour les spécialistes, même pour les experts, même pour des gens comme moi qui ont utilisé des littéralement des centaines de milliers de fois dans leurs écrits et leurs formules d'intégrale, il reste des choses qui sont presque mystérieuses.

Fourier a dégagé les principes fondamentaux de l'analyse qui porte son nom. Premièrement, toute fonction suffisamment régulière peut s'écrire comme une somme de sinusoïdes, lesquelles forment un alphabet élémentaire pour représenter toutes les fonctions. Deuxièmement, plus la fonction est lisse, moins les grandes fréquences sont représentées, établissant un lien entre la régularité et les coefficients de Fourier, tenus par des formules intégrales.

Le fait d'être amené à résoudre des équations physiques sur des fonctions de plus en plus quelconques a provoqué une motivation considérable pour généraliser la notion de fonction au cours du XIXe siècle. Vers la seconde moitié du siècle, les mathématiciens ont travaillé de plus en plus sur des fonctions génériques, développant le langage de la théorie des ensembles. Les grands noms de cette époque incluent Cantor pour la théorie des ensembles, ainsi que Weierstrass et Riemann.

L'intégrale de Riemann date des années 1850. Pour une fonction donnée, la méthode consiste à trouver une primitive, dont la différence des valeurs donne l'intégrale sur l'intervalle. En l'absence de primitive, on raisonne en fonction de l'aire sous la courbe. Riemann postule que ce que l'on sait calculer, ce sont les aires constituées d'une union de rectangles, car l'aire d'un rectangle est connue.

Il est crucial de vérifier que le résultat obtenu, l'intégrale de la fonction en escalier, est indépendant du choix des intervalles et de leur subdivision. Quelle que soit la façon dont la fonction est écrite comme somme de fonctions indicatrices d'intervalles, l'addition des aires des rectangles constitutifs doit produire le même nombre final, qui est alors défini comme l'intégrale de la fonction en escalier.

Au début du XXe siècle, la nécessité de s'approprier les notions mathématiques conduit à une abstraction accrue. Cette période est marquée par des problèmes logiques, comme le paradoxe de Russell, nécessitant une refonte de l'édifice mathématique. C'est précisément à ce moment que surgit l'intégrale de Lebesgue, dans un contexte français où Borel et Baire s'intéressaient à définir comment décrire les ensembles de façon générale, menant à la notion d'ensembles mesurables et boréliens.

Lebesgue, dès sa thèse, introduit sa mesure. L'intégrale de Riemann est illustrée par le paiement d'une dette en réglant les échéances au fur et à mesure qu'elles se présentent (sommation verticale). L'intégrale de Lebesgue est illustrée par le fait de réunir les billets de même valeur avant d'effectuer le paiement, donnant ensemble les signes monétaires de même valeur (sommation horizontale).

Dans un cas, ce qui est très important c'est l'espace de départ. Dans l'autre cas, ce qui est très important, c'est l'espace d'arrivée.

L'analogie monétaire montre que pour Riemann, l'espace de départ (les réels, les entiers) est très important car la sommation dépend de l'ordre d'apparition des valeurs. Pour Lebesgue, puisque l'on regroupe les valeurs de même nature, l'espace d'arrivée, qui est toujours l'espace des réels pour les fonctions à valeur réelle, devient prépondérant, conférant une finesse considérable au procédé.

La théorie est rapidement reprise, menant à la naissance de l'analyse fonctionnelle au début du XXe siècle. Cette discipline cherche à faire des raisonnements mathématiques en s'intéressant à l'espace géométrique de l'ensemble des fonctions. Un espace fonctionnel est un ensemble de fonctions doté d'une structure, comme une distance ou un produit scalaire, qui met de la géométrie sur cet ensemble. La démarche, implicite chez Fourier, est rendue explicite par le groupe d'analystes polonais.